Temukan Gradien dengan Mudah dan Cepat: Teknik dan Trik Jitu

Pelajari cara mencari gradien garis lurus dengan mudah dan cepat. Ikuti langkah-langkah sederhana ini untuk menentukan gradien garis dari dua titik yang diberikan.

Pengertian Gradien

Gradien adalah besaran yang menunjukkan arah dan besarnya perubahan suatu fungsi pada suatu titik. Dalam matematika, gradien biasanya dilambangkan dengan simbol ∇ (nabla) atau grad. Gradien dapat dihitung dengan menggunakan turunan parsial dari fungsi tersebut.

Mencari Gradien Fungsi Skalar

Untuk mencari gradien fungsi skalar, kita dapat menggunakan rumus berikut:

``` ∇f(x,y,z) = (∂f/∂x)î + (∂f/∂y)ĵ + (∂f/∂z)k ``` ``` dimana: ``` ``` - f(x,y,z) adalah fungsi skalar - ∂f/∂x, ∂f/∂y, dan ∂f/∂z adalah turunan parsial dari f(x,y,z) terhadap x, y, dan z - î, ĵ, dan k adalah vektor satuan sepanjang sumbu x, y, dan z ```

Contoh:

Misalkan kita memiliki fungsi skalar ```f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2```. Untuk mencari gradien dari fungsi ini, kita dapat menggunakan rumus di atas:

``` ∇f(x,y,z) = (∂(x^2 + y^2 + z^2)/∂x)î + (∂(x^2 + y^2 + z^2)/∂y)ĵ + (∂(x^2 + y^2 + z^2)/∂z)k ``` ``` = (2x)î + (2y)ĵ + (2z)k ``` ``` Jadi, gradien dari fungsi f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 adalah (2x, 2y, 2z). ```

Mencari Gradien Fungsi Vektor

Untuk mencari gradien fungsi vektor, kita dapat menggunakan rumus berikut:

``` ∇F(x,y,z) = (∂F1/∂x)î + (∂F1/∂y)ĵ + (∂F1/∂z)k + (∂F2/∂x)î + (∂F2/∂y)ĵ + (∂F2/∂z)k + ... + (∂Fn/∂x)î + (∂Fn/∂y)ĵ + (∂Fn/∂z)k ``` ``` dimana: ``` ``` - F(x,y,z) = (F1(x,y,z), F2(x,y,z), ..., Fn(x,y,z)) adalah fungsi vektor - ∂F1/∂x, ∂F1/∂y, dan ∂F1/∂z adalah turunan parsial dari F1(x,y,z) terhadap x, y, dan z - ∂F2/∂x, ∂F2/∂y, dan ∂F2/∂z adalah turunan parsial dari F2(x,y,z) terhadap x, y, dan z - dst. - î, ĵ, dan k adalah vektor satuan sepanjang sumbu x, y, dan z ```

Contoh:

Misalkan kita memiliki fungsi vektor ```F(x,y,z) = (x^2 + y^2 + z^2)î + (x + y + z)ĵ + (xyz)k```. Untuk mencari gradien dari fungsi ini, kita dapat menggunakan rumus di atas:

``` ∇F(x,y,z) = (∂(x^2 + y^2 + z^2)/∂x)î + (∂(x^2 + y^2 + z^2)/∂y)ĵ + (∂(x^2 + y^2 + z^2)/∂z)k + (∂(x + y + z)/∂x)î + (∂(x + y + z)/∂y)ĵ + (∂(x + y + z)/∂z)k + (∂(xyz)/∂x)î + (∂(xyz)/∂y)ĵ + (∂(xyz)/∂z)k ``` ``` = (2x)î + (2y)ĵ + (2z)k + î + ĵ + k + yzkî + xzkĵ + xyz